旧锦新样 | 李伯重：清代中国读书人的数学知识

编者按：
人们心目中的旧式中国文人，往往都是冬烘先生，除了四书五经和诗词歌赋外，其他方面的知识相当匮乏。比如数学，好像他们是一无所知。然而李伯重在阅读明清野史小说时发现，在新式学堂出现以前，中国读书人的数学知识似乎颇为丰富。因此以往那种对中国旧式读书人的印象，也随之改变。这对于我们理解中国古代的知识传统，有全新的意义。

清代中国读书人的数学知识节

文 | 李伯重

（原载《读书》2006年9期）

在“五四”以来，人们心目中的旧式中国读书人，就是范进、孔乙己一类漫画化了的冬烘先生，狭隘，猥琐，可怜，除了能死记硬背四书五经的文句和会写一笔尚属过得去的正楷外，一无所能。至于说到数学知识，他们更似乎是一无所知。然而我近来从一些明清野史小说中发现，在新式学堂出现以前，中国读书人的数学知识似乎颇为丰富。因此以往那种对中国旧式读书人的印象，也随之改变。这里我仅以夏敬渠的《野叟曝言》为例谈谈。

[清]夏敬渠著：《野叟曝言》，人民出版社，1997年。（图片来源：douban.com）

《野叟曝言》是乾隆年间出现的一部长篇小说，原本不题撰人，光绪八年刻本西氓山樵序说系“江阴夏先生”。经鲁迅考证，得知“夏先生”即夏敬渠。又据赵景深考证，夏敬渠字懋修，号二铭，江苏江阴人，生于康熙四十四年(一七〇五年)，卒于乾隆五十二年(一七八七年)，享年八十三岁。《野叟曝言》是他在乾隆四十四年前(一七七九年)后完成的，其时他已大约七十五岁。

《野叟曝言》对十八世纪读书人家庭的数学知识有细致的描写。现将这些描述之著者摘录于下(据人民文学出版社一九九九年排印本)：

第七十页——(文素臣进入刘璇姑房间)只见房内……侧首一张条桌，桌上笔砚济楚，摆有旧书数十本，文素臣看时，是一部《四书》，一部袖珍《五经》，一部《法算》，一部《纲鉴荟要》，还有四本袖珍《字汇》。

第八十四页——璇姑道：“奴年十七，亡母梦织女星手持机锦投怀而生，故取璇玑的璇字。就是母亲教了几个字儿，也还写得上来，母亲还教过作诗作对，没有学成，就只看得桌子上这几本书，还有许多不明白的哩。针黹是嫂嫂教的。也学些算法，别的却是不会。”素臣道：“那桌上的算书所载各法，你都学会么？”璇姑道：“虽非精熟，却还算得上来。”素臣欢喜道：“那签上写得九章算法，颇是烦难，不想你都会了，将来再教你三角算法，便可量天测地，推步日月五星。”璇姑大喜道：“小奴生性最爱算法，却不知有三角各色，万望相公指示。”素臣道：“三角止不过推广勾股，其所列四率，亦不过异乘同除，但其中曲折较多，还有弧三角法，更须推算次形。我家中现有成书，将来自可学习，也不是一时性急的事。”当将钝角、锐角，截作两勾股，与补成一勾股之法，先与细细讲解……讲到割圆之法……璇姑心爱算学，吃饭时津津而问，素臣也将箸蘸着汁汤在桌上画那全圆弧矢弦径之形，逐一指示。璇姑资性聪明，兼与算法有缘，一经指点，件件都有悟头。素臣大喜道：“留心算法，到处讲说，绝少会心之人，不料你小小女子反有如此聪明……”吃完了饭，一面吃茶，一面讨过纸笔，画出几个三角，求积容圆容方的图形，于三边注目丈尺，叫璇姑推算，璇姑细看一会，在后面余纸之上也画作几个图形，将三边丈尺增减，较原图容积各得十分之六。素臣拍案道：“大奇！大奇！此真可与言算矣。”因把八线之理细细讲解，画了又说，说了又画，外面午饭拿来也不歇手，带吃带画带说，没个住头，直到日落西山……　

《清明上河图》中商铺柜台上摆放着算盘（图片来源：zsbwg.nantong.gov.cn）

第九十一页——素臣一觉醒来，却被璇姑纤纤玉指在背上画来画去，又频频作圈，不解何意，问其缘故，璇姑惊醒，亦云不知，但是一心忆着算法，梦中尚在画那弧度，就被相公唤醒了。素臣道：“可谓好学者矣。如此专心，何愁算学不成？”因在璇姑的腹上周围画一个大圈，说道：“这算周天三百六十度。”指着璇姑的香脐道：“这就算是地了，这脐周就是地面，这脐心就是地心。在这地的四周量至天的四周，与在这地心量至天的四周，分寸不是差了么？所以算法有这地平差一条，就是差着地心与地面的数儿……”璇姑笑道：“天地谓之两大，原来地在天中不过这一点子，可见妻子比丈夫小着多哩！”……璇姑道：“这个自然。但古人说，周天三百六十五度四分度之一谓之天行，怎么相关只说是三百六十度？”素臣道：“三百六十五度四分度之一虽唤作天行，其实不是天之行，天行更速，名宗动天，历家存而不论，所算者不过经纬而已。这三百六十五度四分度之一也只是经星行度，因经星最高，其差甚微，故即设为天行。古人算天行盈缩也各不相同，皆有零散，惟邵康节先生作三百六十度，其法最妥。今之历家宗之所谓整驭零之法也。盖日月五星行度各各不同，兼有奇零，若把天行再作奇零，便极难算，故把他来作了整数。地恰在天中，大小虽殊，形体则一，故也把来作了三百六十度。天地皆作整文，然后去推那不整的日月五星，则事半功倍矣。”璇姑恍然大悟。　

第九十三页——素臣取一根稻草，摘了尺寸，令大郎削起几枝竹箭听用。一面取过画笔，画了许多黄白赤道、地平经纬各图，将那弧度交角之理指示璇姑。

第九十五页——(素臣对璇姑讲授历算之法说：)其大略也，测算并用，心目两精，循序渐进，毋有越思，斯得之矣。我生平有四件事略有所长，欲得同志切磋，学成时传之其人。如今历算之法得了你，要算一个传人了。

《坤舆万国全图》中的天地仪图像（图片来源：damazx.com）

第九十七至九十八页——璇姑见素臣情致无聊，取出《九章算法》来，请指示纰缪，以分其心。素臣道：“径一围三，其实则径常不足，周长有余。常用贵乎简便，亦当作径一百十三周三百五十五，方无大舛。若必求吻合，则更有密率，现载成书，将来你查阅自知。至前边这些加减乘除之法，则系开锁之钥匙、入室之门径。但不可用算盘，盖量天测地，要算那日躔月离，法极繁重，一盘少错，百盘皆空矣。必须用笔算之法，则落纸有迹，虽有差讹，按图可复也。”因将笔算加、减、乘、除、平方、立方之式各写一纸，令璇姑学习。璇姑灵颖，加减乘除不过一遍即会，平方立方少加请问，亦即通晓，道得上灯时，早已纵横无碍，十分透彻。又把带纵平方立方之法写出几条讲解与听，道得夜膳上来，已俱会了。

第一百一十二页——(素臣将娶璇姑，致函并礼物)其书曰：……算书全部一百三十二本、规矩一匣、仪器一具，专人寄付，好为收领。算法妙于三角，历学起于日躔……

第一百一十三页——(田氏)知道璇姑通晓文墨，在书房内取进一张书架，便他安放书籍，一切文房之具都替他摆设在一张四仙桌上，又将自己房内一把十九回的花梨算盘也拿了过来。

…………

国际知名的《自然》（Nature）网站在关于2019年度“激励科学与创新科学研究奖”提名的宣传片中，登出了一位名为“王贞仪”的中国清朝女科学家，作为当前女性科学家的“前辈”代表。《王贞仪造像》当代国画家彭连熙先生1996年作品（图片来源：baidu.com）

从以上引文可见，当时江浙一些士人家庭中(书中主人公文素臣是苏州人，刘璇姑未嫁时住在杭州)，对数学的兴趣颇为浓厚，甚至连夫妻之间亦以讨论数学为乐。他们的数学知识颇为全面深入，不仅知道加、减、乘、除、平方、立方算法，而且也了解黄、白、赤道，地平、经纬各图，弧度交角之理，勾股、三角法、割圆之法。不仅在士人(文素臣)家中数学书籍(算书)及运算工具(规矩、仪器、算盘)颇为齐备，而且连“卖糕饼以营生”的市井小家碧玉(刘璇姑)闺房里，也有一部《法算》。

但是我们也要问：《野叟曝言》中反映出来的这些情况，是否具有一定普遍性？

首先，从夏敬渠的经历，来看看他的数学知识在当时的士人中是否独一无二。夏氏是十八世纪江浙地区的一个下层知识分子，一生不得志。其家贫，又只是生员，不得不以教书游幕为生。虽科场不得意，但他英敏好学，通经史，旁及诸子百家、礼乐兵刑、天文算数之学，靡不淹贯。他足迹几遍海内，经历丰富。晚年回到家乡，“屏绝进取，一意著书”。著有《经史余论》、《学古篇》、《纲目举正》、《全史约论》、《医学发蒙》、《浣玉轩文集》、《浣玉轩诗集》等。《野叟曝言》成于其晚年，友人读稿本，即“识先生之底蕴，于学无所不精”。由此可见，夏氏虽然知识比范进、孔乙己们要丰富，但其所受教育和后者一样，基本上仍然是传统教育，而非如徐光启、李善兰等学者那样通过与传教士交往，受到西学影响。因此夏氏的数学知识，主要来自江浙地区的传统教育。换言之，与大多数清代江浙一带的读书人相比，夏氏所掌握的数学知识可能比较丰富一些，但也绝非是一特例。

《算法纂要总纲》是清代基础数学方面的满文著作，一般认为是年希尧所著，韩琦教授通过对比证明，《算法纂要总纲》是在一位曾在康熙宫廷担任数学老师的比利时耶稣会士安多（Antoine Thomas）所著《数学纲要》的基础上编译的，译稿部分内容后来被纳入康熙御制《数理精蕴》（图片来源：zhihu.com）

其次，我们从《野叟曝言》的成书背景，来看看该书中所反映的情况是否独一无二。《野叟曝言》是清代中叶出现的“才学小说”之一。关于“才学小说”的时代，胡适曾有很好概括：“那个时代是一个博学的时代，故那时代的小说，也不知不觉地挂上了博学的牌子，这是时代的影响，谁也逃不过的。”由于乾嘉学派的影响，读书人崇尚学问，流风所及，通俗文学的作者也往往喜欢把学问写进文学作品。《野叟曝言》的凡例云：“是书之叙事、说理、谈经、论史、教孝、劝忠、运筹、决策，艺之兵、诗、医、算，情之喜、怒、哀、惧，讲道学、辟邪说、描春态、纵谐谑，无一不臻顶壁一层。”将如此丰富的内容融入小说，就是为了显示作者的博学。

因为博学是这个时代的风尚，因此除了《野叟曝言》外，其他的“才学小说”如屠绅《史》、陈球《燕山外史》、李汝珍《镜花缘》等，也有类似的取向。这些“才学小说”的作者为了显示自己博学，力求将传统学术尽可能地包罗在其小说中，使得小说成为可读性与学术性的结合。就数学知识而言，《镜花缘》中也颇有表现，何炳郁在《从<镜花缘>试探十九世纪初期科学知识在一般士人中的普及》一文中对此已做讨论，兹不赘述。

再次，除了这些“才学小说”外，读书人拥有一些数学知识，也反映在清代前中期的其他通俗小说中。例如在《儒林外史》中，即使是像周进那样的冬烘先生，或者像匡超人那样的农家子弟，也都掌握了一定的数学知识，因此周进才会被商人雇去当书记记账，而匡超人则自己经营店铺作坊。

故宫收藏康熙时期的硬木多面体教育模型（图片来源：cssn.cn）

因此，可以说，《野叟曝言》中反映出来的那些情况具有一定的时代普遍性。换言之，十八和十九世纪初期的中国读书人掌握了相当的数学知识，是一个普遍的现象，因此才表现在野史小说中。这一点，应当说是毋庸置疑的。

那么，新式学堂出现以前，中国读书人的数学知识是从何而来的呢？

清初数学家陈世明说：“尝观古者教人之法必原本于六艺，窃疑数之为道小矣，恶可与礼乐侔……后世数则委之商贾贩鬻辈，士大夫耻言之，皆以为不足学，故传者益鲜。”清代中期数学家张豸冠则说：“数为六艺之一，古之学者罔弗能。自词章之学兴，而此道遂弃如土。虽向老师宿儒问以六经四书中之涉于数者，亦茫然不能解。”当时的学堂教育似乎不包括数学教育，但是在学堂教育中，至少可以认识记数文字、加减乘除等基本运算的名称及含义、主要计量(度量衡)单位以及大小、多少等数学基本概念，并学习到与计算有密切关系的历法、天文等方面的一些知识，这些知识反过来又促进了对计算方法的学习。有了这些起码的概念，在“九九歌”、珠算口诀等通俗数学教育手段的帮助下，学会加、减、乘、除四则运算并不是一件很难的事。

元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》书影（图片来源：chiculture.com）

清代，中国数学出现了很大的进步，大大推动了数学教育。其中之一，是民间数学知识传播的进步，主要是珠算、笔算和口算(心算)方法的出现与普及。到了明代中期，算盘在江南已经颇为普及。清代劳乃宣编的《筹算蒙课》，内容即以珠算教育为主，表明珠算教育进入了启蒙教育。中国原来没有笔算，明代后期利玛窦把西方算法传入后始有。口算的基本口诀如现在小学生背诵的乘法口诀“九九歌”，早在春秋时代就已出现，到南宋时已变得和今日完全一样。但是这些口诀一直是为筹算服务的，因此口算是否已经出现并不清楚。到了清代，运用这些口诀进行口算(当时称为“嘴算”)才变得普遍。算学以及与数学关系密切的关于声律、医学、天文、舆地等的启蒙教材，也陆续出现于清代，是数学教育逐渐普及的表现。

这里，我们还要特别讨论一下《野叟曝言》中所反映出来的那些比较高深的数学知识(特别是那些与西洋数学有关的知识)，到底是从何而来，以及为什么这些知识会传播到一般知识分子之中。

明清时期中国数学进步的一个重要组成部分，是西洋数学的引进和吸收。西洋数学自明代后期传入中国后，很快即为中国学界所接受。在传入的数学中，影响最大的是几何学。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。其次是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》、《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。

清《皇朝礼器图式》中所录几何仪器

入清之后，西洋数学更受到朝野的重视。清初学者薛凤祚、方中通等从传教士穆尼阁学习西洋科学，编成《历学会通》和《数度衍》等，其中数学内容有《比例对数表》、《比例四线新表》和《三角算法》，介绍了英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数以及球面三角、半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。对数的传入十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。清初中国数学家中会通中西数学的杰出代表是梅文鼎。他是集中西数学之大成者，其数学著作有十三种共四十卷，对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究。他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮具有重要影响。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人，也在中西数学的融合方面做了重要的贡献。

当然，在对推动中国学界接受西洋数学方面影响最大的，还是康熙皇帝。他除了亲自学习天文数学外，还命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。一七二一年完成《律历渊源》一百卷，以康熙“御定”的名义于一七二三年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时学界和社会有一定影响。

到了乾嘉时期，中国传统学术达到顶峰。而乾嘉学派的治学方法，与近代西方的科学方法颇有相似之处，以致丁文江说：“许多中国人，不知道科学方法和近三百年经学大师治学方法是一样的。”胡适也“推崇清代经学大师，称为合于西方科学方法”。乾嘉学派的兴起，有的学者干脆就认为是受到西方科学的影响。而在当时的西方科学中，数学是最重要领域之一。因此乾嘉学派中的许多学者，都对数学有浓厚的兴趣。

《数理精蕴》中的立体几何图示

受考据学的影响，乾嘉乃至道光时期中国学者在对先前引进的西洋数学进行进一步消化的同时，也出现了一个研究传统数学的高潮。焦循、汪莱、李锐、李善兰等人，都有重要贡献。其中李善兰在《垛积比类》(约一八五九年)中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。

清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。嘉庆四年，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记《畴人传》，收入了从黄帝时到嘉庆四年的已故天文学家和数学家二百七十余人(其中有数学著作传世的不足五十人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士四十一人。这种将中西数学家合在一起写的方法，表现了明清传入中国的西洋数学，已经与中国的传统数学融为一体，成为乾隆学术的不可分割的部分。由此来看，我们对于《野叟曝言》所反映出来的十八世纪中国读书人虽然与传教士没有交往，但对许多源自西洋的数学知识知之颇多的情况，也就不会感到诧异了。

由于数学知识的普及，因此清代读书人掌握了相当的数学知识也就是理所当然的了。特别是在夏敬渠所生活的江浙地区，由于教育最发达，精通数学的人士也最多。数学家王锡阐、项名达、戴熙、李善兰、华蘅芳(同时也是机械制造专家)，以及天文学家陈杰、天文气象学家王贞仪、地理学家与人口学家洪亮吉、水利专家陈潢、兵器制造专家龚振麟、化学家与机械制造专家徐寿等，都是代表人物。他们的数学知识之精深，即使在当时的世界上也是数得上的。

李善兰（图片来源：chiculture.com）

简言之，在西方的新式学堂出现以前，中国的传统教育中就已包含着数学教育在内，而且由于大量引进的西洋数学知识已被有机地融入中国的数学，因此这种传统教育的内容绝非仅只是读四书五经和学写八股文。受过这种教育的人(亦即“读书人”)，也当然并非尽都是范进、孔乙己一类冬烘先生。比较全面的说法，这种教育培养出来的读书人，既有范进、孔乙己一类庸人，也有梅文鼎、李善兰这样的科学英才。至于大多数读书人，其知识水平应当在这两个极端之间。而就江浙一带的情况而言，由于教育发达，大多数读书人不仅熟悉文史，而且也掌握了相当的科学知识，无怪乎博雅会成为时尚。在这样的背景下，像夏敬渠这样的下层知识分子也掌握了相当的数学知识并将这种知识写入小说以趋时示博学，也就不足为奇了。 

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